Teorema de Poincaré

La conjetura de Poincaré es una de las hipótesis más importantes de la topología. La conjetura sostiene que la esfera tridimensional es la única variedad compacta tridimensional en la que todo lazo o círculo cerrado se puede deformar (transformar) en un punto. Este último enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3, la esfera tridimensional.

Sin embargo, existen otras teorías sobre la llamada "pompita", generada a partir de agua y jabón, que contradicen estrictamente la conjetura de Poincaré ya que demuestran claramente que no todas las esferas son compactas, con lo que deja en entredicho la demostración de dicha teoría y pone un punto y aparte en la historia de la matemática de las dimensiones.

Un balón de fútbol, por ejemplo, es una variedad de dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto, y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es simplemente conexa.

El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera.

Todas las variedades de dimensión n=2 están inmersas en el espacio de dimensión 3. Por analogía, se definen otras variedades de dimensión n que estarían inmersas en espacios de dimensión n+1. Bla bla bla ...